已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不都小于1/4

题目有问题。
正确题目应该是：
已知:0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4

采用反证法。
证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2

这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾

所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
证毕。

反证法
假设都小于1/4
由前两个式子得到的结果第三个式子不满足
即证

我觉得题目有问题吧，假设a=b=c=0.9，符合题意，则每个子都等于0.09，全都小于0.25呀